Modul Ajar & RPP Matematika Kelas XII
Persamaan.Lingkaran

Tujuan: Peserta didik dapat menurunkan dan menggunakan berbagai bentuk persamaan lingkaran serta menganalisis elemen-elemennya.

Alat & bahan: Kertas milimeter blok, penggaris, pensil, jangka, kalkulator

Langkah kerja:

1. Gambarlah sistem koordinat Kartesius pada kertas milimeter blok.
2. Tentukan sebuah titik pusat P(a,b) dan sebuah jari-jari r.
3. Gunakan definisi lingkaran untuk menurunkan persamaan lingkaran.
4. Ujilah persamaan yang didapatkan dengan beberapa titik yang berada pada lingkaran.
5. Selesaikan soal-soal aplikasi persamaan lingkaran yang diberikan.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang Anda ketahui tentang lingkaran?
2. Bagaimana cara menentukan jarak antara dua titik pada bidang Kartesius?
3. Apa itu persamaan kuadrat?
4. Berikan contoh benda berbentuk lingkaran di sekitar Anda!

Formatif (proses): Observasi partisipasi aktif dalam diskusi kelompok, ketepatan penyelesaian LKPD, dan presentasi hasil proyek, dilengkapi umpan balik formatif.

Sumatif (akhir): Tes tertulis yang mencakup soal pilihan ganda dan esai untuk mengukur pemahaman konsep dan kemampuan aplikasi persamaan lingkaran.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Lingkaran adalah salah satu bentuk geometri yang paling fundamental dan sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Dari roda kendaraan hingga orbit planet, lingkaran memiliki peran penting. Dalam modul ini, kita akan mempelajari bagaimana merepresentasikan lingkaran secara matematis melalui persamaan, memahami elemen-elemennya, dan mengaplikasikan konsep ini untuk memecahkan berbagai masalah.

1. Definisi dan Unsur-unsur Lingkaran
Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan semua titik pada bidang datar yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Titik tertentu ini disebut pusat lingkaran, dan jarak yang sama tersebut disebut jari-jari (r). Unsur-unsur lain meliputi diameter, busur, tali busur, tembereng, dan juring. Diameter adalah dua kali panjang jari-jari dan merupakan tali busur terpanjang yang melalui pusat. Misalnya, pada roda sepeda, jari-jari adalah jarak dari poros ke tepi ban, sementara diameter adalah jarak dari satu sisi ban ke sisi lain melalui poros.

2. Persamaan Lingkaran Berpusat di (0,0)
Jika pusat lingkaran berada di titik asal (0,0) pada sistem koordinat Kartesius, dan jari-jarinya adalah r, maka persamaan lingkarannya adalah x² + y² = r². Ini dapat diturunkan dari rumus jarak antara dua titik (0,0) dan (x,y) yang sama dengan r. Sebagai contoh, sebuah lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 5 akan memiliki persamaan x² + y² = 25. Semua titik (x,y) yang memenuhi persamaan ini akan berada pada lingkaran tersebut.

3. Persamaan Lingkaran Berpusat di (a,b)
Untuk lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dengan jari-jari r, persamaannya adalah (x-a)² + (y-b)² = r². Konsep ini merupakan pengembangan dari persamaan sebelumnya dengan menggeser pusat lingkaran dari (0,0) ke (a,b). Misalnya, sebuah lingkaran dengan pusat (2,3) dan jari-jari 4 akan memiliki persamaan (x-2)² + (y-3)² = 16. Persamaan ini sangat berguna untuk memodelkan objek lingkaran yang tidak berpusat di titik asal.

4. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran (x-a)² + (y-b)² = r² dapat dijabarkan menjadi bentuk umum x² + y² + Ax + By + C = 0, di mana A = -2a, B = -2b, dan C = a² + b² - r². Dari bentuk umum ini, kita dapat menemukan kembali pusat lingkaran (-A/2, -B/2) dan jari-jari r = √((-A/2)² + (-B/2)² - C). Bentuk umum ini seringkali muncul dalam soal dan membutuhkan pemahaman untuk mengubahnya kembali ke bentuk standar.

5. Persamaan Lingkaran Melalui Tiga Titik
Untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik yang tidak segaris, kita dapat mensubstitusikan koordinat ketiga titik tersebut ke dalam bentuk umum persamaan lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0. Ini akan menghasilkan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan A, B, dan C sebagai variabel. Setelah nilai A, B, dan C ditemukan, kita dapat menentukan pusat dan jari-jari lingkaran. Metode ini sangat penting dalam aplikasi seperti menentukan lokasi pusat gempa dari tiga stasiun pengamat.

6. Posisi Titik Terhadap Lingkaran
Posisi suatu titik P(x₁, y₁) terhadap lingkaran x² + y² = r² (atau (x-a)² + (y-b)² = r²) dapat ditentukan dengan membandingkan kuadrat jarak titik P ke pusat dengan kuadrat jari-jari. Jika jarak < r, titik berada di dalam lingkaran; jika jarak = r, titik berada pada lingkaran; dan jika jarak > r, titik berada di luar lingkaran. Hal ini penting dalam berbagai aplikasi seperti menentukan apakah suatu objek berada di dalam jangkauan radar yang melingkar.

7. Posisi Garis Terhadap Lingkaran
Posisi suatu garis y = mx + c terhadap lingkaran dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Kemudian, nilai diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut digunakan. Jika D > 0, garis memotong lingkaran di dua titik (sekan); jika D = 0, garis menyinggung lingkaran di satu titik (tangen); dan jika D < 0, garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran (eksterior). Konsep ini relevan dalam desain jalan atau lintasan yang bersinggungan dengan objek melingkar.

Rangkuman: Persamaan lingkaran adalah alat matematis untuk merepresentasikan bentuk lingkaran. Ada beberapa bentuk persamaan, yaitu berpusat di (0,0): x² + y² = r², berpusat di (a,b): (x-a)² + (y-b)² = r², dan bentuk umum: x² + y² + Ax + By + C = 0. Kita juga dapat menentukan persamaan lingkaran dari tiga titik dan menganalisis posisi titik atau garis terhadap lingkaran menggunakan konsep jarak dan diskriminan. Pemahaman ini sangat penting untuk memecahkan masalah kontekstual yang melibatkan objek berbentuk lingkaran.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Persamaan.Lingkaran" mata pelajaran Matematika Kelas XII ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025