Modul Ajar & RPP Matematika Kelas X
Fungsi Invers

Tujuan: Memandu peserta didik mengidentifikasi karakteristik dan menentukan rumus fungsi invers serta menganalisis grafiknya.

Alat & bahan: Kertas HVS, alat tulis, penggaris, kalkulator, komputer/tablet dengan GeoGebra (opsional)

Langkah kerja:

1. Bentuk kelompok yang terdiri dari 3-4 orang.
2. Diskusikan contoh fungsi yang diberikan dan tentukan daerah asal serta daerah hasilnya.
3. Secara mandiri atau berkelompok, coba balikkan proses dari fungsi tersebut untuk menemukan fungsi inversnya.
4. Gambarkan grafik fungsi asli dan fungsi inversnya pada bidang koordinat yang sama.
5. Jawab pertanyaan-pertanyaan refleksi di akhir LKPD.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa itu fungsi?
2. Berikan contoh fungsi dalam kehidupan sehari-hari.
3. Bagaimana cara menentukan daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi?
4. Apa syarat suatu fungsi dikatakan satu-satu?

Formatif (proses): Observasi partisipasi dan diskusi kelompok saat mengerjakan LKPD, serta penilaian presentasi hasil kerja kelompok.

Sumatif (akhir): Tes tertulis yang mencakup soal pilihan ganda dan esai untuk mengukur pemahaman konsep dan kemampuan menentukan fungsi invers serta aplikasinya.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Fungsi invers merupakan konsep penting dalam matematika yang memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang. Pemahaman tentang fungsi invers memungkinkan kita untuk membalikkan suatu proses atau menemukan nilai awal dari suatu hasil yang diketahui. Modul ini akan membimbing Anda memahami konsep, cara menentukan, dan aplikasi fungsi invers secara mendalam.

1. Pengertian Fungsi Invers
Fungsi invers, dilambangkan dengan f⁻¹(x), adalah sebuah fungsi yang membalikkan operasi dari fungsi asalnya. Artinya, jika suatu fungsi f memetakan elemen x ke elemen y, maka fungsi invers f⁻¹ akan memetakan y kembali ke x. Syarat utama agar suatu fungsi memiliki invers adalah fungsi tersebut harus merupakan fungsi bijektif, yaitu fungsi satu-satu (injektif) dan pada (surjektif). Fungsi satu-satu berarti setiap elemen daerah asal dipetakan ke elemen daerah hasil yang berbeda, sementara fungsi pada berarti setiap elemen daerah hasil memiliki pasangan di daerah asal. Contoh sederhana: jika f(x) = x + 2, maka f⁻¹(x) = x - 2.

2. Syarat Fungsi Memiliki Invers
Tidak semua fungsi memiliki invers. Sebuah fungsi f: A → B memiliki invers f⁻¹: B → A jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi bijektif. Fungsi bijektif adalah fungsi yang bersifat injektif (satu-satu) dan surjektif (pada). Fungsi injektif berarti setiap elemen di domain memiliki pasangan yang berbeda di kodomain. Fungsi surjektif berarti setiap elemen di kodomain memiliki setidaknya satu pasangan di domain. Jika suatu fungsi tidak bijektif, maka inversnya tidak akan menjadi fungsi, melainkan hanya relasi invers. Misalnya, fungsi kuadrat f(x) = x² tidak memiliki invers pada seluruh domain bilangan real karena bukan fungsi satu-satu (misal f(2)=4 dan f(-2)=4).

3. Langkah-langkah Menentukan Fungsi Invers
Untuk menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi f(x), ikuti langkah-langkah berikut: 1. Ganti notasi f(x) dengan y. 2. Tukarkan posisi variabel x dan y dalam persamaan tersebut. 3. Selesaikan persamaan baru tersebut untuk y, sehingga y dinyatakan dalam x. 4. Ganti kembali y dengan notasi f⁻¹(x). Penting untuk selalu memeriksa domain dan kodomain agar fungsi invers yang didapatkan valid. Contoh: Jika f(x) = 2x - 3, maka y = 2x - 3. Tukar x dan y menjadi x = 2y - 3. Selesaikan untuk y: x + 3 = 2y, sehingga y = (x + 3)/2. Jadi, f⁻¹(x) = (x + 3)/2.

4. Fungsi Invers dari Fungsi Linear
Fungsi linear memiliki bentuk umum f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0. Fungsi linear selalu merupakan fungsi bijektif, sehingga selalu memiliki invers. Untuk mencari inversnya, kita ikuti langkah-langkah umum yang sudah dijelaskan. Misalkan f(x) = 5x + 7. Maka y = 5x + 7. Tukar x dan y menjadi x = 5y + 7. Kemudian, selesaikan untuk y: x - 7 = 5y, sehingga y = (x - 7)/5. Jadi, f⁻¹(x) = (x - 7)/5. Proses ini relatif mudah dan sering diaplikasikan dalam masalah konversi atau skala.

5. Fungsi Invers dari Fungsi Kuadrat (dengan batasan domain)
Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c secara umum tidak bijektif, sehingga tidak memiliki invers pada seluruh domainnya. Namun, jika domain fungsi kuadrat dibatasi sedemikian rupa sehingga menjadi fungsi satu-satu (misalnya, hanya untuk x ≥ 0 atau x ≤ 0), maka fungsi inversnya dapat ditentukan. Langkah-langkahnya sama, namun perlu perhatian khusus pada penentuan domain dan kodomain inversnya. Contoh: f(x) = x² untuk x ≥ 0. Maka y = x². Tukar x dan y menjadi x = y². Selesaikan untuk y: y = √x (karena y ≥ 0). Jadi, f⁻¹(x) = √x untuk x ≥ 0.

6. Fungsi Invers dari Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk f(x) = P(x)/Q(x), di mana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x) ≠ 0. Menentukan fungsi invers dari fungsi rasional juga mengikuti langkah-langkah umum. Misalkan f(x) = (ax + b) / (cx + d). Ganti f(x) dengan y, tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y. Proses ini sering melibatkan aljabar yang sedikit lebih kompleks, seperti mengumpulkan suku-suku y. Penting untuk memperhatikan domain di mana penyebut tidak boleh nol untuk fungsi asli maupun inversnya. Misalnya, f(x) = (2x + 1) / (x - 3).

7. Grafik Fungsi dan Fungsi Invers
Ada hubungan simetri yang menarik antara grafik suatu fungsi dan grafik fungsi inversnya. Jika suatu fungsi digambarkan pada bidang koordinat Kartesius, dan fungsi inversnya juga digambarkan pada bidang yang sama, maka kedua grafik tersebut akan simetris terhadap garis y = x. Artinya, jika kita melipat kertas grafik sepanjang garis y = x, maka grafik fungsi dan grafik fungsi inversnya akan saling menindih dengan sempurna. Sifat simetri ini dapat digunakan untuk memeriksa kebenaran perhitungan fungsi invers secara visual, serta memahami bagaimana proses pembalikan terjadi secara geometris.

8. Aplikasi Fungsi Invers dalam Kehidupan Sehari-hari
Fungsi invers memiliki banyak aplikasi praktis. Dalam bidang fisika, kita bisa menemukan invers dari fungsi konversi suhu (misalnya dari Celsius ke Fahrenheit atau sebaliknya). Dalam ekonomi, fungsi invers dapat digunakan untuk menghitung harga pokok suatu barang jika diketahui harga jual dan persentase keuntungan. Dalam kriptografi, fungsi invers digunakan untuk mendekripsi pesan yang telah dienkripsi. Bahkan dalam dunia teknik, kalibrasi sensor seringkali melibatkan konsep fungsi invers untuk mengembalikan pembacaan sensor ke nilai fisik aslinya.

Rangkuman: Fungsi invers adalah fungsi yang membalikkan operasi fungsi asalnya, dengan syarat fungsi asli harus bijektif. Langkah-langkah menentukannya meliputi penggantian f(x) dengan y, penukaran variabel x dan y, lalu penyelesaian untuk y. Grafik fungsi dan fungsi inversnya selalu simetris terhadap garis y = x. Konsep ini sangat relevan dalam berbagai aplikasi nyata, mulai dari konversi hingga perhitungan ekonomi.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Fungsi Invers" mata pelajaran Matematika Kelas X ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025