Modul Ajar & RPP Matematika Kelas XII
kaidah pencacahan

Waktu pengerjaan: 40 menit

Tujuan: Peserta didik dapat menerapkan prinsip dasar kaidah pencacahan untuk menyelesaikan masalah konkret.

Petunjuk: 1) Berdoalah sebelum mulai. 2) Kerjakan langkah secara berurutan dan diskusikan dalam kelompok. 3) Catat temuan di tabel, lalu simpulkan berdasarkan bukti.

Info singkat: Kaidah pencacahan adalah cabang matematika yang mempelajari cara menghitung banyaknya kemungkinan susunan atau pilihan dari suatu objek tanpa harus mendaftar semua kemungkinannya.

Alat & bahan: Kertas, pulpen, kartu angka/huruf

Langkah kerja:

1. Bacalah setiap masalah dengan cermat.
2. Identifikasi apakah masalah tersebut melibatkan aturan penjumlahan atau perkalian.
3. Tentukan semua kemungkinan pilihan atau susunan yang ada.
4. Hitung total banyaknya cara yang mungkin.
5. Tuliskan langkah-langkah penyelesaian dan jawabannya dengan jelas.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang Anda ketahui tentang 'banyaknya cara'?
2. Berikan contoh situasi di mana Anda harus membuat pilihan dari beberapa opsi!
3. Bagaimana cara Anda menghitung jumlah pilihan tersebut?
4. Apakah Anda pernah mendengar istilah 'permutasi' atau 'kombinasi'?

Formatif (proses): Observasi saat diskusi kelompok dan presentasi, serta penilaian hasil LKPD untuk mengukur pemahaman konsep dan keterampilan penerapan.

Sumatif (akhir): Tes tertulis berupa soal pilihan ganda dan esai untuk mengevaluasi pemahaman konsep dan kemampuan menyelesaikan masalah kaidah pencacahan secara komprehensif.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Kaidah pencacahan adalah cabang matematika yang mempelajari cara menghitung banyaknya kemungkinan susunan atau pilihan dari suatu objek tanpa harus mendaftar semua kemungkinannya. Materi ini sangat relevan dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari menyusun jadwal, memilih kombinasi pakaian, hingga menganalisis peluang dalam permainan atau undian. Dengan memahami kaidah pencacahan, kita dapat membuat keputusan yang lebih terinformasi dan mengembangkan kemampuan berpikir logis dan sistematis.

1. Prinsip Dasar Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan dimulai dengan dua prinsip dasar: aturan penjumlahan dan aturan perkalian. Aturan penjumlahan digunakan ketika ada beberapa pilihan yang tidak dapat terjadi secara bersamaan. Jika ada 'm' cara untuk melakukan kejadian A dan 'n' cara untuk melakukan kejadian B, maka total cara melakukan A atau B adalah m+n. Contohnya, jika Anda memiliki 3 pilihan baju dan 2 pilihan celana yang berbeda, Anda memiliki 3+2=5 pilihan total jika Anda hanya boleh memakai baju saja atau celana saja. Sebaliknya, aturan perkalian digunakan ketika ada beberapa kejadian yang terjadi secara berurutan atau bersamaan. Jika ada 'm' cara untuk kejadian pertama dan 'n' cara untuk kejadian kedua, maka total cara melakukan kedua kejadian tersebut adalah m×n. Contoh: jika Anda memiliki 3 pilihan baju dan 2 pilihan celana, maka Anda memiliki 3×2=6 cara untuk mengenakan satu set baju dan celana.

2. Faktorial
Faktorial adalah produk dari semua bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan bilangan bulat tertentu. Dilambangkan dengan 'n!', faktorial n adalah n × (n-1) × (n-2) × ... × 1. Sebagai contoh, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Faktorial sangat penting dalam kaidah pencacahan, khususnya dalam menghitung permutasi, karena merepresentasikan banyaknya cara menyusun 'n' objek yang berbeda. Definisi khusus adalah 0! = 1, yang sering digunakan dalam rumus-rumus kombinatorial.

3. Permutasi
Permutasi adalah banyaknya cara menyusun atau mengatur 'n' objek yang berbeda dengan memperhatikan urutan. Rumus permutasi 'k' objek dari 'n' objek yang tersedia adalah P(n,k) = n! / (n-k)!. Contoh: Banyaknya cara menyusun 3 huruf dari 5 huruf berbeda (A, B, C, D, E) adalah P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = (5×4×3×2×1) / (2×1) = 60 cara. Ada juga permutasi dengan unsur yang sama, di mana objek yang sama tidak dianggap berbeda, dan permutasi siklis untuk susunan melingkar.

4. Permutasi dengan Unsur yang Sama
Ketika terdapat unsur yang sama dalam sekumpulan objek, rumus permutasi sedikit dimodifikasi. Jika ada n objek, di mana ada n1 objek jenis pertama yang sama, n2 objek jenis kedua yang sama, dan seterusnya, maka banyaknya permutasi adalah n! / (n1! × n2! × ... × nk!). Sebagai contoh, untuk kata 'MATEMATIKA', ada 10 huruf, dengan M muncul 2 kali, A muncul 3 kali, T muncul 2 kali. Maka banyaknya permutasi adalah 10! / (2! × 3! × 2!) = 151.200. Pemahaman ini penting untuk menghindari penghitungan ganda.

5. Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara melingkar. Jika 'n' objek disusun secara melingkar, maka banyaknya permutasi siklis adalah (n-1)!. Misalnya, jika ada 4 orang yang akan duduk mengelilingi meja bundar, banyaknya cara mereka duduk adalah (4-1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara. Konsep ini berbeda dari permutasi linear karena titik awal susunan tidak berpengaruh pada hasil akhir, yang membuatnya memiliki simetri rotasi.

6. Kombinasi
Kombinasi adalah banyaknya cara memilih 'k' objek dari 'n' objek yang tersedia tanpa memperhatikan urutan. Rumus kombinasi 'k' objek dari 'n' objek adalah C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). Contoh: Banyaknya cara memilih 3 orang dari 5 orang untuk menjadi tim adalah C(5,3) = 5! / (3! × (5-3)!) = 5! / (3! × 2!) = (5×4×3×2×1) / ((3×2×1) × (2×1)) = 10 cara. Perbedaan utama dengan permutasi adalah urutan tidak penting dalam kombinasi; {A, B} sama dengan {B, A}.

7. Perbedaan Permutasi dan Kombinasi
Perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi terletak pada apakah urutan diperhatikan atau tidak. Dalam permutasi, urutan objek sangat penting. Misalnya, 'ABC' berbeda dengan 'ACB'. Ini digunakan ketika posisi atau jabatan memiliki makna (misalnya, ketua, sekretaris, bendahara). Sementara itu, dalam kombinasi, urutan objek tidak diperhatikan. 'ABC' dianggap sama dengan 'ACB' karena hanya merupakan kelompok yang sama. Ini digunakan ketika hanya pemilihan anggota kelompok yang penting, tanpa memandang urutan mereka dipilih (misalnya, memilih 3 anggota tim dari 5 calon). Memahami perbedaan ini krusial untuk memilih rumus yang tepat dalam menyelesaikan masalah.

8. Penerapan Kaidah Pencacahan dalam Kehidupan
Kaidah pencacahan memiliki banyak aplikasi praktis. Dalam bidang informatika, digunakan untuk menghitung kemungkinan password atau kombinasi kode. Dalam biologi, untuk menghitung kombinasi genetik. Dalam statistik, untuk menghitung peluang kejadian. Dalam kehidupan sehari-hari, kita menggunakannya untuk menyusun jadwal, memilih kombinasi pakaian, merencanakan rute perjalanan, atau bahkan dalam permainan kartu. Kemampuan untuk mengidentifikasi dan menerapkan kaidah pencacahan membantu dalam pengambilan keputusan yang lebih baik dan pemahaman yang lebih mendalam tentang kemungkinan di sekitar kita.

Rangkuman: Kaidah pencacahan adalah metode untuk menghitung banyaknya cara susunan atau pilihan objek. Prinsip dasarnya meliputi aturan penjumlahan (untuk pilihan yang tidak bersamaan) dan aturan perkalian (untuk kejadian berurutan). Faktorial adalah dasar perhitungan. Permutasi digunakan saat urutan penting, sedangkan kombinasi digunakan saat urutan tidak penting. Memahami perbedaan keduanya krusial untuk penerapan yang tepat dalam berbagai masalah nyata, dari penyusunan jadwal hingga analisis peluang.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "kaidah pencacahan" mata pelajaran Matematika Kelas XII ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Berbasis Cinta · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: KMA No. 1503 Tahun 2025 (Kurikulum Berbasis Cinta) · Kep. Dirjen Pendis No. 6077 Tahun 2025 · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025