Modul Ajar & RPP Matematika Lanjutan Kelas XII
Turunan

Tujuan: Peserta didik dapat menemukan konsep turunan sebagai limit laju perubahan rata-rata dan menentukan turunan fungsi aljabar sederhana.

Alat & bahan: Kertas, pensil, kalkulator, komputer/tablet dengan aplikasi Geogebra

Langkah kerja:

1. Amati gambar di bawah ini yang menunjukkan grafik fungsi y = x^2. Perhatikan titik A(1,1) dan titik B(2,4).

2. Hitunglah kemiringan garis sekan yang menghubungkan titik A(1,1) dan titik B(2,4) menggunakan rumus m = (y2 - y1) / (x2 - x1).
3. Jika titik B digeser mendekati A, misalnya menjadi B'(1.5, 2.25) dan B''(1.1, 1.21), hitunglah kemiringan garis sekan AB' dan AB''.
4. Apa yang terjadi pada kemiringan garis sekan saat titik B semakin mendekati titik A? Diskusikan dalam kelompok dan rumuskan kesimpulanmu.
5. Berdasarkan pengamatanmu, coba definisikan apa itu turunan suatu fungsi pada suatu titik.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang Anda ketahui tentang limit fungsi?
2. Bagaimana cara menentukan kemiringan garis lurus?
3. Berikan contoh fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang Anda ketahui.
4. Apa pentingnya memahami perubahan suatu nilai dalam matematika atau kehidupan sehari-hari?

Formatif (proses): Observasi partisipasi aktif peserta didik dalam diskusi kelompok dan kelengkapan penyelesaian LKPD.

Sumatif (akhir): Tes tertulis untuk mengukur pemahaman konsep dan kemampuan aplikasi turunan dalam pemecahan masalah.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Turunan adalah salah satu konsep fundamental dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang ilmu. Memahami turunan memungkinkan kita untuk menganalisis laju perubahan, mengoptimalkan fungsi, dan memahami perilaku grafik secara mendalam. Modul ini akan memandu Anda menjelajahi dunia turunan, dari konsep dasar hingga aplikasinya yang relevan.

1. Konsep Dasar Turunan
Turunan suatu fungsi f(x) pada titik x=a, dinotasikan f'(a), didefinisikan sebagai limit dari laju perubahan rata-rata fungsi saat interval perubahan variabelnya mendekati nol. Secara matematis, f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h. Konsep ini menggambarkan kecepatan perubahan sesaat suatu nilai. Jika f(x) adalah posisi suatu benda, maka f'(x) adalah kecepatan sesaatnya. Ini adalah dasar untuk memahami bagaimana suatu kuantitas berubah pada suatu momen tertentu.

2. Turunan Fungsi Aljabar dengan Definisi Limit
Untuk menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi limit, kita perlu mengganti f(x) ke dalam rumus limit. Misalnya, untuk f(x) = x^2, maka f'(x) = lim (h→0) [ (x+h)^2 - x^2 ] / h. Setelah melakukan ekspansi dan penyederhanaan aljabar, kita akan menemukan hasilnya. Proses ini penting untuk membangun pemahaman konseptual sebelum beralih ke aturan turunan yang lebih cepat. Latihan berulang dengan definisi limit akan memperkuat dasar pemahaman.

3. Aturan Turunan Fungsi Pangkat
Aturan pangkat adalah salah satu aturan turunan paling dasar dan sering digunakan. Jika f(x) = x^n, maka turunannya adalah f'(x) = n * x^(n-1), di mana n adalah bilangan real. Aturan ini sangat efisien dibandingkan menggunakan definisi limit secara terus-menerus. Misalnya, turunan dari x^5 adalah 5x^4. Aturan ini berlaku untuk semua jenis pangkat, termasuk bilangan bulat, pecahan, dan negatif. Memahami aturan ini adalah kunci untuk menurunkan fungsi aljabar lainnya.

4. Sifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar
Selain aturan pangkat, terdapat beberapa sifat turunan yang memudahkan perhitungan: 1. Turunan konstanta: Jika f(x) = c, maka f'(x) = 0. 2. Aturan konstanta kali fungsi: Jika f(x) = c * g(x), maka f'(x) = c * g'(x). 3. Aturan jumlah/selisih: Jika f(x) = g(x) ± h(x), maka f'(x) = g'(x) ± h'(x). Sifat-sifat ini memungkinkan kita untuk menurunkan fungsi yang lebih kompleks dengan memecahnya menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana. Penerapan yang tepat dari sifat-sifat ini sangat penting.

5. Aturan Hasil Kali dan Hasil Bagi
Untuk fungsi yang merupakan hasil kali atau hasil bagi dari dua fungsi, kita menggunakan aturan khusus. Aturan hasil kali: Jika f(x) = u(x) * v(x), maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Aturan hasil bagi: Jika f(x) = u(x) / v(x), maka f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2. Kedua aturan ini sangat penting untuk menurunkan fungsi-fungsi rasional dan fungsi yang melibatkan perkalian variabel. Menguasai kedua aturan ini membuka pintu untuk menyelesaikan masalah turunan yang lebih rumit.

6. Interpretasi Geometris Turunan
Secara geometris, turunan pertama suatu fungsi pada titik tertentu menyatakan kemiringan (gradien) garis singgung kurva fungsi pada titik tersebut. Jika f'(a) positif, kurva menanjak di x=a. Jika f'(a) negatif, kurva menurun di x=a. Jika f'(a) = 0, kurva memiliki titik stasioner (puncak, lembah, atau belok). Pemahaman ini sangat berguna untuk menganalisis bentuk grafik fungsi, menentukan titik ekstrem, dan memahami perilaku fungsi secara visual.

Rangkuman: Turunan adalah laju perubahan sesaat suatu fungsi, yang secara geometris merupakan kemiringan garis singgung kurva. Kita dapat menghitung turunan menggunakan definisi limit atau aturan-aturan turunan seperti aturan pangkat, konstanta kali fungsi, jumlah/selisih, hasil kali, dan hasil bagi. Konsep turunan sangat fundamental dalam kalkulus dan memiliki aplikasi luas dalam fisika, ekonomi, dan berbagai bidang lainnya untuk menganalisis perubahan dan mengoptimalkan nilai.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Turunan" mata pelajaran Matematika Lanjutan Kelas XII ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025