Modul Ajar & RPP Matematika Lanjutan Kelas XI
Persamaan Lingkaran

Tujuan: Peserta didik dapat menentukan persamaan lingkaran dari berbagai kondisi yang diberikan dan menganalisis posisi titik atau garis terhadap lingkaran.

Alat & bahan: Kertas berpetak, penggaris, pensil, kalkulator

Langkah kerja:

1. Hitung luas dan keliling lingkaran berjari-jari 21 cm pada gambar berikut (π = 22/7).

2. Perhatikan bidang Kartesius di bawah ini. Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran A dan B.
3. Gambarkan sebuah lingkaran yang berpusat di (3, -2) dan melalui titik (7, 1). Tentukan persamaannya.
4. Sebuah garis y = x + 1. Tentukan apakah garis ini memotong, menyinggung, atau tidak memotong lingkaran x² + y² = 5.
5. Diskusikan dalam kelompok, bagaimana cara menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (1,1), (3,1), dan (2,2)?

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang Anda ketahui tentang lingkaran?
2. Bagaimana cara menghitung jarak antara dua titik pada bidang Kartesius?
3. Sebutkan contoh benda berbentuk lingkaran di sekitar Anda!
4. Bagaimana bentuk umum persamaan kuadrat?

Formatif (proses): Observasi diskusi kelompok, penilaian LKPD, dan penilaian presentasi peserta didik.

Sumatif (akhir): Tes tertulis berupa soal pilihan ganda dan esai untuk mengukur pemahaman konsep dan kemampuan pemecahan masalah.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Lingkaran adalah salah satu bentuk geometri yang paling fundamental dan sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Dari roda kendaraan hingga desain arsitektur modern, lingkaran memainkan peran penting. Dalam modul ini, kita akan menjelajahi konsep persamaan lingkaran, sebuah alat matematis yang memungkinkan kita untuk mendeskripsikan dan menganalisis lingkaran secara aljabar.

1. Definisi Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan titik pusat lingkaran, dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-jari lingkaran. Konsep ini sangat fundamental dalam geometri analitik dan menjadi dasar untuk menurunkan persamaan lingkaran.

2. Persamaan Lingkaran Berpusat di (0,0)
Jika lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan memiliki jari-jari r, maka untuk setiap titik P(x,y) pada lingkaran, jarak OP adalah r. Menggunakan rumus jarak dua titik, kita peroleh √(x-0)² + (y-0)² = r, yang disederhanakan menjadi x² + y² = r². Persamaan ini adalah bentuk standar persamaan lingkaran dengan pusat di titik asal.

3. Persamaan Lingkaran Berpusat di (a,b)
Apabila pusat lingkaran bergeser ke titik M(a,b) dengan jari-jari r, maka jarak dari M ke setiap titik P(x,y) pada lingkaran tetap r. Dengan rumus jarak, kita dapatkan √((x-a)² + (y-b)²) = r. Jika dikuadratkan kedua ruas, maka diperoleh persamaan (x-a)² + (y-b)² = r². Ini adalah bentuk standar persamaan lingkaran dengan pusat di (a,b).

4. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran (x-a)² + (y-b)² = r² dapat diuraikan menjadi x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r². Jika kita susun ulang dan misalkan -2a = A, -2b = B, dan a² + b² - r² = C, maka kita akan mendapatkan bentuk umum persamaan lingkaran: x² + y² + Ax + By + C = 0. Dari bentuk umum ini, pusat lingkaran dapat ditemukan di (-A/2, -B/2) dan jari-jari r = √(A²/4 + B²/4 - C).

5. Menentukan Persamaan Lingkaran dari Berbagai Kondisi
Untuk menentukan persamaan lingkaran, kita memerlukan informasi tentang pusat dan jari-jarinya. Kondisi yang berbeda dapat diberikan, seperti: melalui satu titik dan pusat diketahui, menyinggung sumbu koordinat, atau melalui tiga titik yang tidak segaris. Setiap kondisi akan memberikan petunjuk untuk menemukan nilai a, b, dan r yang diperlukan untuk membentuk persamaan lingkaran.

6. Posisi Titik terhadap Lingkaran
Posisi suatu titik P(x₁,y₁) terhadap lingkaran x² + y² = r² atau (x-a)² + (y-b)² = r² dapat ditentukan dengan mensubstitusikan koordinat titik P ke dalam persamaan. Jika hasilnya kurang dari r² (atau 0 untuk bentuk umum), titik berada di dalam lingkaran. Jika sama dengan r², titik berada pada lingkaran. Jika lebih dari r², titik berada di luar lingkaran.

7. Posisi Garis terhadap Lingkaran
Untuk menentukan posisi garis y = mx + c terhadap lingkaran, kita substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Ini akan menghasilkan persamaan kuadrat. Kemudian, kita hitung nilai diskriminan (D = b² - 4ac) dari persamaan kuadrat tersebut. Jika D > 0, garis memotong lingkaran di dua titik. Jika D = 0, garis menyinggung lingkaran di satu titik. Jika D < 0, garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.

Rangkuman: Persamaan lingkaran adalah alat penting untuk mendeskripsikan lingkaran secara aljabar. Kita dapat menemukan persamaan lingkaran jika pusat dan jari-jari diketahui, atau dari berbagai kondisi lain seperti melalui titik atau menyinggung sumbu. Pemahaman posisi titik dan garis terhadap lingkaran juga memungkinkan kita menganalisis hubungan spasial secara matematis, dengan aplikasi luas di berbagai bidang.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Persamaan Lingkaran" mata pelajaran Matematika Lanjutan Kelas XI ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025