Modul Ajar & RPP Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII
Geometri Analitik

Tujuan: Peserta didik dapat mengidentifikasi, menganalisis, dan menggambar berbagai kurva geometri analitik.

Alat & bahan: kertas millimeter blok, pensil, penggaris, jangka, kalkulator

Langkah kerja:

1. Amati gambar koordinat Kartesius berikut yang menunjukkan dua titik A dan B. Hitunglah jarak antara titik A(2,3) dan B(7,5) menggunakan rumus jarak.

2. Dengan menggunakan jangka dan penggaris, gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat (3, -2) dan jari-jari 4 satuan pada kertas millimeter blok.
3. Tentukan persamaan lingkaran yang telah kamu gambar pada langkah 2.
4. Buatlah sketsa grafik parabola dengan persamaan y = x^2 - 4x + 3 dan identifikasi titik puncaknya.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang Anda ketahui tentang sistem koordinat Kartesius?
2. Bagaimana cara menghitung jarak antara dua titik di bidang datar?
3. Berikan contoh persamaan garis lurus yang Anda ketahui.

Formatif (proses): Asesmen formatif dilakukan melalui observasi partisipasi aktif peserta didik dalam diskusi kelompok dan kelengkapan LKPD.

Sumatif (akhir): Asesmen sumatif dilakukan melalui tes tertulis yang mencakup soal-soal identifikasi, analisis, dan penyelesaian masalah geometri analitik.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Geometri analitik adalah cabang matematika yang menggabungkan aljabar dan geometri, memungkinkan kita untuk merepresentasikan bentuk-bentuk geometris seperti garis, lingkaran, dan kurva lainnya menggunakan persamaan aljabar. Dengan demikian, masalah-masalah geometri dapat diselesaikan dengan metode aljabar, dan sebaliknya. Ini adalah alat yang sangat ampuh dalam banyak bidang ilmu dan rekayasa.

1. Sistem Koordinat Kartesius dan Jarak
Sistem koordinat Kartesius adalah sistem dua dimensi yang menggunakan dua garis bilangan tegak lurus, sumbu X (horizontal) dan sumbu Y (vertikal), untuk menentukan posisi suatu titik. Setiap titik direpresentasikan oleh pasangan terurut (x, y). Jarak antara dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) dapat dihitung menggunakan rumus Pythagoras: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Pemahaman ini menjadi dasar untuk semua konsep geometri analitik selanjutnya, karena semua objek geometris akan ditempatkan dan dianalisis dalam sistem koordinat ini.

2. Persamaan Garis Lurus
Garis lurus adalah salah satu bentuk geometris paling dasar. Persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk, seperti y = mx + c (bentuk gradien-intersep), di mana 'm' adalah gradien (kemiringan) dan 'c' adalah perpotongan dengan sumbu Y. Bentuk lain adalah y - y1 = m(x - x1) (bentuk titik-gradien) jika diketahui satu titik (x1, y1) dan gradien 'm'. Jika diketahui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2), gradien dapat dihitung sebagai m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Memahami berbagai bentuk ini penting untuk memodelkan hubungan linear dalam berbagai aplikasi.

3. Persamaan Lingkaran
Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang berjarak sama dari suatu titik pusat. Jarak ini disebut jari-jari. Persamaan standar lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. Jika pusatnya berada di titik asal (0,0), persamaannya menjadi x^2 + y^2 = r^2. Lingkaran memiliki banyak aplikasi, dari desain roda hingga orbit satelit, dan kemampuan untuk menurunkan serta mengidentifikasi persamaannya sangatlah penting.

4. Parabola
Parabola adalah kurva yang terbentuk dari himpunan semua titik yang berjarak sama dari suatu titik fokus dan suatu garis direktris. Bentuk umum persamaan parabola adalah y^2 = 4px (terbuka ke samping) atau x^2 = 4py (terbuka ke atas/bawah), dengan 'p' adalah jarak dari fokus ke puncak. Parabola sering terlihat dalam fisika, seperti lintasan proyektil, dan dalam rekayasa, seperti desain antena parabola atau reflektor lampu sorot. Memahami properti fokus dan direktrisnya krusial untuk aplikasinya.

5. Elips
Elips adalah kurva yang terbentuk dari himpunan semua titik yang jumlah jaraknya dari dua titik fokus adalah konstan. Persamaan standar elips dengan pusat di (0,0) adalah x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, di mana 'a' dan 'b' adalah panjang sumbu semi-mayor dan semi-minor. Elips memiliki dua fokus dan sering digunakan untuk menggambarkan orbit planet atau desain ruang akustik. Karakteristik sumbu-sumbu ini menentukan bentuk 'pipih' atau 'lonjong' dari elips.

6. Hiperbola
Hiperbola adalah kurva yang terbentuk dari himpunan semua titik yang selisih jaraknya dari dua titik fokus adalah konstan. Persamaan standar hiperbola dengan pusat di (0,0) adalah x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (membuka ke samping) atau y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1 (membuka ke atas/bawah). Hiperbola memiliki dua cabang yang terpisah dan sering ditemukan dalam fenomena fisika seperti lintasan komet atau desain menara pendingin. Asimtotnya merupakan garis bantu yang sangat penting untuk menggambar hiperbola.

Rangkuman: Geometri analitik adalah jembatan antara aljabar dan geometri, memungkinkan kita mendeskripsikan dan menganalisis bentuk-bentuk geometris menggunakan persamaan. Materi ini mencakup koordinat Kartesius, garis lurus, lingkaran, serta irisan kerucut (parabola, elips, hiperbola). Pemahaman ini esensial untuk memecahkan masalah di berbagai bidang, dari fisika hingga rekayasa.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Geometri Analitik" mata pelajaran Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025