Modul Ajar & RPP Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII
Integral

Tujuan: Peserta didik dapat menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri serta menerapkan teknik substitusi.

Alat & bahan: Alat tulis, kalkulator (opsional), buku paket Matematika Tingkat Lanjut

Langkah kerja:

1. Amati gambar fungsi y = x^2 dan turunannya y = 2x. Bagaimana cara kembali dari y = 2x ke y = x^2?

2. Diskusikan dalam kelompok, apa yang terjadi pada konstanta saat fungsi diturunkan, dan bagaimana ini mempengaruhi proses integrasi?
3. Tentukan integral tak tentu dari fungsi f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 2x + 5.
4. Gunakan teknik substitusi untuk menentukan integral dari ∫(3x^2 + 2x)^4 (6x + 2) dx.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang Anda ketahui tentang turunan fungsi?
2. Bagaimana Anda menghitung turunan dari f(x) = x^3?
3. Apakah Anda pernah mendengar istilah 'antiturunan'?
4. Sebutkan satu contoh fungsi trigonometri dan turunannya.

Formatif (proses): Observasi partisipasi aktif peserta didik dalam diskusi kelompok dan presentasi, serta hasil pengerjaan LKPD.

Sumatif (akhir): Tes tertulis yang mencakup soal-soal integral tak tentu, integral substitusi, dan integral tentu.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Integral adalah salah satu konsep fundamental dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang ilmu. Materi ini akan membawa Anda memahami integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan, serta integral tentu untuk menghitung akumulasi dan luas daerah. Dengan menguasai integral, Anda akan mampu memecahkan masalah-masalah kompleks yang melibatkan perubahan dan akumulasi.

1. Pengertian Integral Tak Tentu
Integral tak tentu, juga dikenal sebagai antiturunan, adalah operasi kebalikan dari diferensiasi (turunan). Jika kita memiliki suatu fungsi f(x) dan turunannya adalah F'(x), maka integral tak tentu dari F'(x) adalah F(x) + C, di mana C adalah konstanta integrasi. Konstanta C muncul karena turunan dari konstanta selalu nol, sehingga ada banyak fungsi yang memiliki turunan yang sama. Notasi integral tak tentu adalah ∫f(x) dx.

2. Rumus Dasar Integral Fungsi Aljabar
Untuk fungsi aljabar dalam bentuk ax^n, rumus dasar integral tak tentunya adalah ∫ax^n dx = (a/(n+1))x^(n+1) + C, asalkan n ≠ -1. Jika n = -1, maka ∫(1/x) dx = ln|x| + C. Rumus ini sangat penting dan menjadi dasar untuk mengintegralkan polinomial. Contohnya, ∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C. Sifat linearitas juga berlaku, yaitu integral dari jumlah atau selisih fungsi adalah jumlah atau selisih integral masing-masing fungsi.

3. Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri
Selain fungsi aljabar, integral juga berlaku untuk fungsi trigonometri. Beberapa rumus dasar integral trigonometri yang penting antara lain: ∫cos(x) dx = sin(x) + C, ∫sin(x) dx = -cos(x) + C, dan ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C. Penting untuk mengingat tanda negatif pada beberapa integral trigonometri dan selalu menambahkan konstanta integrasi C. Integrasi fungsi trigonometri lainnya dapat diturunkan dari rumus dasar ini atau memerlukan teknik lebih lanjut.

4. Teknik Integral Substitusi
Integral substitusi adalah metode yang digunakan untuk menyederhanakan integral yang kompleks dengan mengubah variabel integrasi. Teknik ini sangat berguna ketika integran melibatkan komposisi fungsi dan turunan dari fungsi bagian dalamnya. Langkah-langkahnya meliputi: memilih u = g(x), mencari du/dx, mengubah integral ke dalam bentuk variabel u, mengintegralkan terhadap u, dan kemudian mengganti kembali u dengan g(x). Contohnya, untuk ∫2x(x^2+1)^3 dx, kita bisa memisalkan u = x^2+1.

5. Pengertian Integral Tentu
Integral tentu adalah integral yang memiliki batas atas dan batas bawah, yang digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva, volume, atau akumulasi lainnya. Berbeda dengan integral tak tentu yang menghasilkan fungsi, integral tentu menghasilkan nilai skalar. Konsep integral tentu berasal dari limit jumlah Riemann, yaitu penjumlahan luas persegi panjang kecil di bawah kurva yang jumlahnya mendekati tak hingga. Notasinya adalah ∫_a^b f(x) dx, di mana a dan b adalah batas bawah dan batas atas integrasi.

6. Teorema Dasar Kalkulus
Teorema Dasar Kalkulus (TDK) menghubungkan integral tentu dengan integral tak tentu dan turunan. TDK bagian pertama menyatakan bahwa jika F(x) adalah antiturunan dari f(x), maka ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). Teorema ini menyederhanakan perhitungan integral tentu secara drastis, tanpa perlu menghitung limit jumlah Riemann secara langsung. TDK bagian kedua menyatakan bahwa turunan dari integral tentu dengan batas atas variabel adalah fungsi itu sendiri. Teorema ini adalah jembatan penting antara diferensial dan integral.

7. Aplikasi Integral Tentu: Menghitung Luas Daerah
Salah satu aplikasi paling umum dari integral tentu adalah menghitung luas daerah di bawah kurva. Jika f(x) ≥ 0 pada interval [a, b], maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, dan garis x = a serta x = b adalah ∫_a^b f(x) dx. Jika kurva berada di bawah sumbu x, luasnya adalah negatif, sehingga perlu diambil nilai absolut atau mengintegralkan -f(x). Untuk daerah antara dua kurva, kita mengintegralkan selisih fungsi atas dikurangi fungsi bawah.

Rangkuman: Integral adalah operasi kebalikan dari turunan, terbagi menjadi integral tak tentu (menghasilkan fungsi + konstanta) dan integral tentu (menghasilkan nilai skalar). Integral tak tentu menggunakan rumus dasar dan teknik substitusi untuk fungsi aljabar dan trigonometri. Integral tentu didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann dan dihitung menggunakan Teorema Dasar Kalkulus, dengan aplikasi utama menghitung luas daerah di bawah kurva atau antara kurva.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Integral" mata pelajaran Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025