Modul Ajar & RPP Matematika Kelas XI
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Tujuan: Peserta didik dapat menentukan hasil komposisi dua fungsi dan mengidentifikasi syarat fungsi invers melalui analisis masalah.

Alat & bahan: Kertas, pensil, penggaris, kalkulator (opsional), perangkat lunak grafik (opsional)

Langkah kerja:

1. Tentukan titik potong grafik fungsi kuadrat berikut dengan sumbu x dan sumbu y.

2. Amati diagram alir proses produksi yang diberikan di bawah ini, lalu identifikasi fungsi-fungsi yang terlibat di setiap tahapan.
3. Tentukan rumus komposisi fungsi (f o g)(x) dan (g o f)(x) dari pasangan fungsi yang telah tersedia pada tabel.
4. Diskusikan dalam kelompok Anda apakah (f o g)(x) selalu sama dengan (g o f)(x), berikan contoh dan alasannya.
5. Gambarkan grafik beberapa fungsi yang diberikan, lalu gunakan uji garis horizontal untuk menentukan apakah fungsi tersebut memiliki fungsi invers.
6. Rumuskan kesimpulan Anda mengenai syarat agar suatu fungsi memiliki fungsi invers dan bagaimana cara menentukan rumus inversnya.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang Anda ketahui tentang definisi fungsi?
2. Berikan contoh fungsi linear dan fungsi kuadrat!
3. Bagaimana cara menentukan domain dan range suatu fungsi?
4. Apa perbedaan antara domain dan kodomain?

Formatif (proses): Observasi partisipasi aktif peserta didik dalam diskusi kelompok dan kelengkapan serta ketepatan pengerjaan LKPD.

Sumatif (akhir): Tes tertulis berupa soal pilihan ganda dan esai untuk mengukur pemahaman konsep komposisi fungsi dan fungsi invers serta kemampuannya dalam menyelesaikan masalah.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Fungsi adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang. Dalam modul ini, kita akan menjelajahi dua konsep lanjutan dari fungsi, yaitu komposisi fungsi dan fungsi invers. Pemahaman mendalam tentang kedua konsep ini akan membuka pintu untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks dan memahami hubungan antarvariabel secara lebih cermat.

1. Pengertian Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi adalah operasi penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan sehingga menghasilkan fungsi baru. Jika kita memiliki fungsi f(x) dan g(x), maka komposisi fungsi f dan g dapat ditulis sebagai (f o g)(x) yang berarti f(g(x)), atau (g o f)(x) yang berarti g(f(x)). Dalam (f o g)(x), fungsi g(x) dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya menjadi input untuk fungsi f(x). Domain dari (f o g)(x) adalah himpunan semua x dalam domain g sedemikian rupa sehingga g(x) berada dalam domain f.

2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi memiliki beberapa sifat penting. Salah satunya adalah sifat asosiatif, yaitu (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x). Namun, komposisi fungsi umumnya tidak komutatif, artinya (f o g)(x) ≠ (g o f)(x). Ini berarti urutan pengerjaan fungsi sangat penting dan akan menghasilkan fungsi yang berbeda. Komposisi dengan fungsi identitas I(x) = x akan menghasilkan fungsi itu sendiri, yaitu (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x).

3. Menentukan Rumus Komposisi Fungsi
Untuk menentukan rumus komposisi fungsi (f o g)(x), kita perlu mengganti setiap x dalam fungsi f(x) dengan fungsi g(x). Demikian pula untuk (g o f)(x), kita mengganti setiap x dalam fungsi g(x) dengan fungsi f(x). Misalnya, jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x^2, maka (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1. Sedangkan (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1.

4. Pengertian Fungsi Invers
Fungsi invers adalah fungsi yang 'membalikkan' operasi dari fungsi asalnya. Jika suatu fungsi f memetakan elemen x ke y (y = f(x)), maka fungsi inversnya, yang dilambangkan dengan f^-1, akan memetakan y kembali ke x (x = f^-1(y)). Tidak semua fungsi memiliki fungsi invers. Agar suatu fungsi memiliki fungsi invers, fungsi tersebut harus bersifat satu-satu (injektif), artinya setiap elemen di kodomain hanya dipetakan oleh satu elemen di domain.

5. Syarat Fungsi Invers
Sebuah fungsi f memiliki invers jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif, yaitu fungsi yang bersifat injektif (satu-satu) dan surjektif (onto). Sifat injektif memastikan bahwa setiap elemen y di kodomain memiliki tepat satu elemen x di domain yang memetakannya. Sifat surjektif memastikan bahwa setiap elemen di kodomain memiliki pasangan di domain. Secara grafis, fungsi injektif dapat diuji dengan 'uji garis horizontal', di mana setiap garis horizontal hanya memotong grafik fungsi paling banyak satu kali.

6. Langkah Menentukan Fungsi Invers
Untuk menentukan rumus fungsi invers f^-1(x) dari suatu fungsi y = f(x), ikuti langkah-langkah berikut: Pertama, ubah notasi f(x) menjadi y. Kedua, tukar posisi variabel x dan y, sehingga persamaan menjadi x = f(y). Ketiga, selesaikan persamaan tersebut untuk y dalam bentuk x. Keempat, ubah kembali y menjadi f^-1(x). Penting untuk selalu memperhatikan domain dan range dari fungsi asli dan fungsi inversnya agar sesuai.

7. Fungsi Invers dari Fungsi Linear
Menentukan fungsi invers dari fungsi linear relatif mudah. Misalkan f(x) = ax + b, dengan a ≠ 0. Ubah menjadi y = ax + b. Tukar x dan y menjadi x = ay + b. Selesaikan untuk y: x - b = ay, sehingga y = (x - b)/a. Jadi, f^-1(x) = (x - b)/a. Contoh: Jika f(x) = 3x - 5, maka f^-1(x) = (x + 5)/3. Fungsi linear selalu injektif dan surjektif, sehingga selalu memiliki fungsi invers.

8. Fungsi Invers dari Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c (dengan a ≠ 0) secara umum tidak memiliki fungsi invers karena bukan fungsi satu-satu (grafiknya berbentuk parabola). Namun, jika domain fungsi kuadrat dibatasi (misalnya x ≥ -b/2a atau x ≤ -b/2a), maka fungsi tersebut bisa menjadi satu-satu dan memiliki invers. Untuk menentukan inversnya, kita menggunakan metode melengkapkan kuadrat atau rumus kuadrat, lalu memilih cabang yang sesuai dengan domain yang dibatasi.

Rangkuman: Komposisi fungsi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan, menghasilkan fungsi baru (f o g)(x) = f(g(x)). Fungsi invers (f^-1(x)) adalah fungsi yang membalikkan operasi fungsi asalnya, dan hanya ada jika fungsi tersebut bersifat satu-satu (injektif) atau bijektif. Menentukan rumus invers melibatkan pertukaran variabel x dan y, lalu menyelesaikan persamaan untuk y. Kedua konsep ini penting untuk memodelkan masalah berurutan dan kebalikan dalam matematika dan kehidupan nyata.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers" mata pelajaran Matematika Kelas XI ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025