Modul Ajar & RPP Matematika Lanjutan Kelas XI
Polinomial

Tujuan: Peserta didik dapat mengidentifikasi unsur-unsur polinomial dan melakukan operasi dasar dengan tepat.

Alat & bahan: Kertas, pulpen, kalkulator sederhana, komputer/tablet dengan akses internet.

Langkah kerja:

1. Perhatikan gambar fungsi y = x³ - 3x² + 2x di bawah ini. Identifikasi titik-titik potong dengan sumbu X.

2. Tentukan derajat, koefisien utama, dan konstanta dari polinomial P(x) = 5x⁴ - 2x³ + 7x - 1.
3. Jika Q(x) = 3x² + 4x - 2 dan R(x) = x³ - 2x² + 5, hitunglah Q(x) + R(x) dan Q(x) * R(x).
4. Gunakan Teorema Sisa untuk menentukan sisa pembagian P(x) = x³ - 4x² + 5x + 6 jika dibagi (x - 2).
5. Verifikasi hasil perhitungan Anda menggunakan perangkat lunak matematika seperti GeoGebra atau Desmos.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang Anda ketahui tentang variabel dan konstanta dalam aljabar?
2. Bagaimana cara menjumlahkan dua ekspresi aljabar?
3. Apa itu persamaan kuadrat dan bagaimana menyelesaikannya?

Formatif (proses): Observasi kinerja kelompok saat diskusi dan presentasi, serta penilaian LKPD.

Sumatif (akhir): Tes tertulis yang mencakup operasi polinomial, teorema sisa, teorema faktor, dan pemodelan masalah.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Polinomial adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Dari perancangan kurva pada desain produk hingga analisis data kompleks, pemahaman tentang polinomial membekali kita dengan alat yang kuat untuk memecahkan masalah dunia nyata. Modul ini akan membimbing Anda untuk menguasai operasi dasar, teorema penting, hingga aplikasi pemodelan polinomial.

1. Definisi dan Notasi Polinomial
Polinomial adalah ekspresi aljabar yang terdiri dari variabel dan koefisien, yang hanya melibatkan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan perpangkatan bilangan bulat non-negatif dari variabel. Bentuk umum polinomial berderajat n adalah P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, di mana a_n, a_{n-1}, ..., a_0 adalah koefisien (bilangan real), a_n ≠ 0, dan n adalah derajat polinomial (bilangan bulat non-negatif). Contoh: P(x) = 3x⁴ - 5x² + 2x - 7 adalah polinomial berderajat 4 dengan koefisien utama 3 dan konstanta -7.

2. Operasi Dasar Polinomial
Sama seperti bilangan, polinomial dapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan. Penjumlahan dan pengurangan polinomial dilakukan dengan menggabungkan suku-suku sejenis (suku yang memiliki variabel dan pangkat yang sama). Perkalian polinomial dilakukan dengan mengalikan setiap suku dari polinomial pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua, kemudian menjumlahkan suku-suku sejenis. Pembagian polinomial dilakukan dengan metode pembagian bersusun atau metode Horner, yang akan dijelaskan lebih lanjut dalam konteks Teorema Sisa dan Teorema Faktor.

3. Nilai Polinomial
Nilai polinomial P(x) untuk suatu nilai x = k adalah hasil substitusi k ke dalam ekspresi polinomial tersebut, dinotasikan P(k). Contoh: Jika P(x) = x³ - 2x + 1, maka P(2) = 2³ - 2(2) + 1 = 8 - 4 + 1 = 5. Konsep nilai polinomial ini penting untuk memahami akar-akar polinomial dan Teorema Sisa. Jika P(k) = 0, maka k adalah akar dari polinomial P(x).

4. Teorema Sisa
Teorema Sisa menyatakan bahwa jika suatu polinomial P(x) dibagi oleh (x - k), maka sisa pembagiannya adalah P(k). Teorema ini sangat berguna karena kita tidak perlu melakukan pembagian panjang untuk mengetahui sisa pembagian. Cukup dengan mensubstitusikan nilai k ke dalam polinomial. Contoh: Untuk P(x) = x³ - 4x² + 5x + 6 dibagi (x - 2), sisa pembagiannya adalah P(2) = 2³ - 4(2)² + 5(2) + 6 = 8 - 16 + 10 + 6 = 8.

5. Teorema Faktor
Teorema Faktor merupakan pengembangan dari Teorema Sisa. Teorema ini menyatakan bahwa (x - k) adalah faktor dari polinomial P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0. Dengan kata lain, jika sisa pembagiannya adalah nol, maka (x - k) adalah faktor dari polinomial tersebut, dan k adalah akar dari polinomial. Teorema ini menjadi dasar untuk mencari akar-akar polinomial berderajat tinggi dengan mencoba-coba nilai k yang mungkin (biasanya faktor dari konstanta).

6. Mencari Akar-akar Polinomial
Untuk mencari akar-akar polinomial berderajat lebih dari dua, kita dapat menggunakan kombinasi Teorema Faktor dan pembagian sintetis (Metode Horner). Langkah pertama adalah mencari akar rasional yang mungkin dengan mencoba faktor-faktor dari konstanta dibagi faktor-faktor dari koefisien utama. Setelah menemukan satu akar, kita dapat membagi polinomial dengan faktor yang sesuai untuk mendapatkan polinomial berderajat lebih rendah, dan melanjutkan proses hingga mendapatkan persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan rumus ABC atau pemfaktoran.

7. Aplikasi Polinomial dalam Kehidupan Nyata
Polinomial memiliki banyak aplikasi praktis. Dalam fisika, polinomial digunakan untuk memodelkan lintasan proyektil, gerak benda, dan osilasi. Dalam ekonomi, polinomial dapat digunakan untuk menganalisis fungsi permintaan dan penawaran, serta optimasi keuntungan. Dalam rekayasa, polinomial digunakan dalam desain kurva pada jalan, jembatan, dan komponen mesin untuk memastikan kelancaran dan kekuatan struktur. Pemodelan data dengan polinomial juga sering digunakan dalam statistik dan ilmu komputer.

Rangkuman: Polinomial adalah ekspresi aljabar penting yang melibatkan operasi dasar. Teorema Sisa dan Teorema Faktor adalah alat krusial untuk menemukan akar dan faktor polinomial. Pemahaman konsep ini memungkinkan kita memodelkan berbagai fenomena nyata, dari fisika hingga ekonomi, serta menganalisis data secara efektif. Dengan dukungan teknologi, eksplorasi dan verifikasi solusi polinomial menjadi lebih mudah dan mendalam.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Polinomial" mata pelajaran Matematika Lanjutan Kelas XI ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025