Modul Ajar & RPP Matematika Kelas XI
Fungsi komposisi dan fungsi invers

Tujuan: Mengembangkan pemahaman konsep fungsi komposisi dan fungsi invers melalui eksplorasi dan penyelesaian masalah.

Alat & bahan: Kertas, pulpen, kalkulator (opsional), laptop/komputer dengan spreadsheet (opsional)

Langkah kerja:

1. Bacalah setiap masalah dengan cermat dan diskusikan dalam kelompok.
2. Identifikasi fungsi-fungsi yang terlibat dalam masalah dan tentukan domain serta kodomainnya.
3. Selesaikan masalah menggunakan konsep fungsi komposisi atau fungsi invers.
4. Periksa kembali hasil perhitungan dan pastikan logis sesuai konteks masalah.
5. Siapkan presentasi singkat untuk membagikan solusi dan temuan kelompok Anda.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang Anda pahami tentang fungsi?
2. Bisakah Anda memberikan contoh fungsi dalam kehidupan sehari-hari?
3. Bagaimana cara menentukan domain dan range suatu fungsi?
4. Apa yang terjadi jika kita menggabungkan dua operasi secara berurutan?

Formatif (proses): Observasi kinerja kelompok saat mengerjakan LKPD dan presentasi, serta penilaian sikap kolaborasi dan penalaran kritis.

Sumatif (akhir): Tes tertulis berupa soal pilihan ganda dan esai untuk mengukur pemahaman konsep dan kemampuan aplikasi fungsi komposisi dan fungsi invers.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai proses yang berurutan atau tahapan yang saling terkait. Misalnya, proses produksi suatu barang, sistem konversi mata uang, atau bahkan cara kerja mesin. Konsep fungsi komposisi dan fungsi invers dalam matematika membantu kita memodelkan dan memahami hubungan-hubungan kompleks ini, memungkinkan kita untuk menganalisis output dari beberapa input berurutan atau bahkan mencari input awal dari output yang diketahui.

1. Pengertian Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan sehingga menghasilkan fungsi baru. Jika ada fungsi f(x) dan g(x), maka fungsi komposisi (f o g)(x) berarti fungsi g dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dimasukkan ke fungsi f. Secara matematis, (f o g)(x) = f(g(x)). Urutan pengerjaan sangat penting dalam fungsi komposisi, karena (f o g)(x) umumnya tidak sama dengan (g o f)(x). Contohnya, jika f(x) = 2x+1 dan g(x) = x^2, maka (f o g)(x) = f(x^2) = 2(x^2)+1 = 2x^2+1.

2. Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat penting. Pertama, tidak komutatif, yaitu (f o g)(x) ≠ (g o f)(x). Kedua, asosiatif, yaitu ((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x). Ketiga, terdapat fungsi identitas I(x) = x, sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x). Memahami sifat-sifat ini membantu dalam memanipulasi dan menyederhanakan ekspresi fungsi komposisi. Sifat-sifat ini juga dapat dibuktikan dengan substitusi aljabar.

3. Menentukan Fungsi Komposisi
Untuk menentukan fungsi komposisi (f o g)(x), langkah-langkahnya adalah mengganti setiap x dalam fungsi f(x) dengan fungsi g(x). Demikian pula untuk (g o f)(x), setiap x dalam fungsi g(x) diganti dengan fungsi f(x). Pastikan domain dari fungsi 'dalam' (misalnya g(x) untuk (f o g)(x)) memiliki irisan dengan domain dari fungsi 'luar' (f(x)) agar komposisi terdefinisi. Perhatikan juga batasan-batasan domain dan range dari masing-masing fungsi.

4. Pengertian Fungsi Invers
Fungsi invers (dilambangkan f⁻¹(x)) adalah fungsi yang membalikkan operasi dari fungsi asalnya. Jika suatu fungsi f memetakan elemen x ke y (y = f(x)), maka fungsi invers f⁻¹ akan memetakan y kembali ke x (x = f⁻¹(y)). Tidak semua fungsi memiliki invers. Sebuah fungsi dikatakan memiliki invers jika fungsi tersebut adalah fungsi bijektif, yaitu injektif (satu-satu) dan surjektif (pada). Contohnya, jika f(x) = x+2, maka f⁻¹(x) = x-2.

5. Langkah-langkah Menentukan Fungsi Invers
Untuk menentukan rumus fungsi invers dari y = f(x), langkah-langkah umumnya adalah: 1. Ubah bentuk y = f(x) menjadi x = f(y) dengan melakukan operasi aljabar. 2. Ganti variabel y dengan x dan variabel x dengan f⁻¹(x). Misalnya, untuk f(x) = 3x - 5, kita tulis y = 3x - 5. Lalu, 3x = y + 5, sehingga x = (y+5)/3. Maka, f⁻¹(x) = (x+5)/3. Perhatikan domain dan range dari fungsi asli dan inversnya.

6. Fungsi Invers dari Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat umumnya bukan fungsi bijektif karena bukan fungsi satu-satu (grafiknya berbentuk parabola). Oleh karena itu, agar memiliki invers, domain fungsi kuadrat harus dibatasi. Misalnya, untuk f(x) = x², domainnya dapat dibatasi untuk x ≥ 0 atau x ≤ 0. Jika f(x) = x² dengan x ≥ 0, maka y = x² sehingga x = √y. Jadi, f⁻¹(x) = √x dengan x ≥ 0. Batasan domain ini sangat krusial agar inversnya juga merupakan fungsi.

7. Aplikasi Fungsi Komposisi dan Invers
Konsep fungsi komposisi dan invers memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang. Dalam ekonomi, fungsi komposisi dapat digunakan untuk menghitung pajak berganda atau diskon berantai. Fungsi invers dapat digunakan untuk menentukan harga pokok jika harga jual dan keuntungan diketahui. Dalam ilmu komputer, fungsi ini digunakan dalam enkripsi dan dekripsi data. Di bidang industri, sering digunakan untuk memodelkan proses produksi multi-tahap dan membalikkan alurnya untuk analisis.

Rangkuman: Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan, membentuk fungsi baru, dan bersifat tidak komutatif tetapi asosiatif. Fungsi invers adalah fungsi yang membalikkan operasi fungsi asalnya, dan hanya ada jika fungsi tersebut bijektif. Menentukan invers melibatkan mengubah y=f(x) menjadi x=f(y) lalu mengganti variabel. Kedua konsep ini sangat penting untuk memodelkan dan menyelesaikan masalah dalam berbagai disiplin ilmu, mulai dari ekonomi hingga teknologi.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Fungsi komposisi dan fungsi invers" mata pelajaran Matematika Kelas XI ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025