Modul Ajar & RPP Matematika Kelas XI
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Waktu pengerjaan: 40 menit

Tujuan: Peserta didik dapat menentukan hasil komposisi fungsi dan rumus fungsi invers dari suatu fungsi.

Petunjuk: 1) Berdoalah sebelum mulai. 2) Kerjakan langkah secara berurutan dan diskusikan dalam kelompok. 3) Catat temuan di tabel, lalu simpulkan berdasarkan bukti.

Info singkat: Matematika seringkali melibatkan proses berurutan. Bayangkan kamu ingin membeli baju yang sedang diskon, lalu dikenakan pajak.

Alat & bahan: Alat tulis, kalkulator (opsional), perangkat digital dengan Geogebra/Desmos

Langkah kerja:

1. Amati gambar diagram fungsi yang diberikan, lalu tentukan fungsi f(x) dan g(x) dari diagram tersebut.

2. Hitunglah nilai (g ° f)(x) dan (f ° g)(x) berdasarkan fungsi yang kamu temukan di langkah 1.
3. Diskusikan dalam kelompok, apakah (g ° f)(x) = (f ° g)(x)? Berikan alasanmu.
4. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi f(x) = 3x - 5 dan g(x) = x² + 2 (untuk x ≥ 0).
5. Verifikasi hasil invers yang kamu temukan menggunakan Geogebra/Desmos dengan memplot grafik fungsi asli dan inversnya.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang kamu ketahui tentang fungsi?
2. Jika f(x) = x + 3, berapa nilai f(2)?
3. Apakah setiap relasi adalah fungsi? Jelaskan.
4. Bagaimana cara melakukan operasi penjumlahan pada dua fungsi?

Formatif (proses): Observasi terhadap partisipasi dan kolaborasi peserta didik selama diskusi kelompok dan presentasi.

Sumatif (akhir): Tes tertulis untuk mengukur pemahaman konsep dan kemampuan menyelesaikan masalah komposisi fungsi dan fungsi invers.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Matematika seringkali melibatkan proses berurutan. Bayangkan kamu ingin membeli baju yang sedang diskon, lalu dikenakan pajak. Ada dua proses yang terjadi, yaitu diskon dan pajak. Bagaimana jika kamu ingin mengetahui harga awal baju tersebut jika hanya tahu harga akhirnya? Di sinilah konsep komposisi fungsi dan fungsi invers berperan penting untuk memodelkan dan menyelesaikan masalah-masalah semacam ini.

1. Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Jika ada fungsi f: A → B dan fungsi g: B → C, maka komposisi fungsi f dan g, ditulis (g ° f)(x), adalah fungsi dari A ke C. Ini berarti fungsi f dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dilanjutkan dengan fungsi g. Domain dari (g ° f) adalah domain dari f, dan kodomainnya adalah kodomain dari g. Contoh: Jika f(x) = 2x dan g(x) = x + 1, maka (g ° f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = 2x + 1.

2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi memiliki beberapa sifat penting. Salah satunya adalah tidak komutatif, artinya (f ° g)(x) umumnya tidak sama dengan (g ° f)(x). Namun, komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu (f ° (g ° h))(x) = ((f ° g) ° h)(x). Fungsi identitas, I(x) = x, juga berperan penting dalam komposisi fungsi, di mana (f ° I)(x) = (I ° f)(x) = f(x). Memahami sifat-sifat ini membantu kita dalam menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.

3. Pengertian Fungsi Invers
Fungsi invers atau fungsi balikan adalah fungsi yang membalikkan operasi dari fungsi asalnya. Jika sebuah fungsi f memetakan setiap elemen x dari domainnya ke elemen y di kodomainnya (y = f(x)), maka fungsi invers dari f, yang dinotasikan dengan f⁻¹(x), akan memetakan y kembali ke x (x = f⁻¹(y)). Tidak semua fungsi memiliki invers. Syarat utama agar suatu fungsi memiliki invers adalah fungsi tersebut harus merupakan fungsi bijektif (satu-satu dan onto).

4. Menentukan Fungsi Invers
Untuk menentukan rumus fungsi invers, ada beberapa langkah yang bisa diikuti. Pertama, ubah bentuk y = f(x) menjadi x dalam bentuk y. Kedua, tukar variabel x menjadi y dan y menjadi x. Hasilnya adalah rumus fungsi invers f⁻¹(x). Contoh: Jika f(x) = 2x + 3, maka y = 2x + 3. Diubah menjadi x = (y - 3)/2. Setelah itu, tukar variabel menjadi f⁻¹(x) = (x - 3)/2. Proses ini memerlukan ketelitian dalam manipulasi aljabar.

5. Aplikasi Fungsi Invers
Fungsi invers memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, dalam bidang ekonomi, fungsi invers dapat digunakan untuk mencari harga awal suatu barang setelah dikenakan diskon atau pajak. Dalam bidang sains, fungsi invers dapat digunakan untuk mengkonversi satuan atau menghitung nilai awal suatu variabel dari hasil akhir yang diketahui. Pemahaman konsep ini sangat penting untuk memecahkan masalah praktis.

Rangkuman: Komposisi fungsi adalah penggabungan dua fungsi secara berurutan, menghasilkan fungsi baru. Fungsi invers adalah fungsi yang membalikkan operasi dari fungsi asalnya. Tidak semua fungsi memiliki invers; hanya fungsi bijektif yang memilikinya. Menentukan invers melibatkan manipulasi aljabar untuk menukar posisi variabel. Kedua konsep ini sangat berguna untuk memodelkan dan menyelesaikan berbagai masalah dalam kehidupan nyata, seperti perhitungan ekonomi dan konversi data.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers" mata pelajaran Matematika Kelas XI ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Berbasis Cinta · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: KMA No. 1503 Tahun 2025 (Kurikulum Berbasis Cinta) · Kep. Dirjen Pendis No. 6077 Tahun 2025 · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025