Modul Ajar & RPP Matematika Kelas X
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Tujuan: Peserta didik dapat menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dari masalah kontekstual.

Alat & bahan: Alat tulis, kalkulator (opsional), kertas kerja

Langkah kerja:

1. Isilah teka-teki silang berikut. Petunjuknya diambil dari istilah yang kamu pelajari pada materi ini.

2. Amati dan baca dengan seksama masalah kontekstual berikut.
3. Identifikasi dua variabel yang belum diketahui nilainya dan tuliskan dalam bentuk simbol (misalnya x dan y).
4. Rumuskan dua persamaan linear dari informasi yang diberikan dalam masalah.
5. Pilih metode penyelesaian (substitusi atau eliminasi) yang menurut kelompokmu paling efisien.
6. Selesaikan sistem persamaan linear tersebut dan tuliskan kesimpulannya.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang kalian ketahui tentang persamaan linear satu variabel?
2. Bagaimana cara menemukan nilai x dari persamaan 2x + 5 = 11?
3. Berikan contoh situasi di mana kita perlu mencari dua nilai yang saling berkaitan!
4. Apa perbedaan antara persamaan dan pertidaksamaan?

Formatif (proses): Observasi kinerja kelompok saat berdiskusi dan presentasi, serta penilaian hasil kerja pada LKPD.

Sumatif (akhir): Tes tertulis berupa soal pilihan ganda dan esai untuk mengukur pemahaman konsep dan kemampuan penyelesaian masalah.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang kehidupan. Materi ini akan membekali peserta didik dengan kemampuan memodelkan situasi dunia nyata ke dalam bentuk matematis dan mencari solusi optimalnya, mulai dari perhitungan sederhana hingga masalah kompleks dalam bisnis, sains, dan teknik.

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah kumpulan dua persamaan linear atau lebih yang memiliki dua variabel yang sama. Bentuk umum SPLDV adalah a₁x + b₁y = c₁ dan a₂x + b₂y = c₂, di mana x dan y adalah variabel, a₁, b₁, a₂, b₂ adalah koefisien, dan c₁, c₂ adalah konstanta. Solusi dari SPLDV adalah pasangan nilai (x, y) yang memenuhi kedua persamaan secara simultan. SPLDV digunakan untuk memecahkan masalah yang melibatkan dua kuantitas tidak diketahui dengan dua kondisi yang diberikan, seperti menentukan harga satuan dua jenis barang jika diketahui total harga dari beberapa kombinasi pembelian. Pemahaman SPLDV sangat penting sebagai dasar untuk mempelajari sistem persamaan yang lebih kompleks.

2. Metode Penyelesaian SPLDV: Substitusi
Metode substitusi adalah cara menyelesaikan SPLDV dengan mengganti (mensubstitusi) salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lainnya. Langkah-langkahnya meliputi: pertama, pilih salah satu persamaan dan nyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lainnya (misalnya, y = ... atau x = ...). Kedua, substitusikan ekspresi variabel tersebut ke persamaan kedua. Ketiga, selesaikan persamaan baru yang hanya memiliki satu variabel. Keempat, substitusikan nilai variabel yang sudah ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai variabel yang lain. Contoh, untuk sistem x + y = 5 dan 2x - y = 1, dari persamaan pertama kita dapatkan y = 5 - x. Substitusikan ke persamaan kedua: 2x - (5 - x) = 1, sehingga 3x - 5 = 1, 3x = 6, x = 2. Kemudian y = 5 - 2 = 3. Solusinya adalah (2, 3).

3. Metode Penyelesaian SPLDV: Eliminasi
Metode eliminasi adalah cara menyelesaikan SPLDV dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel untuk mendapatkan nilai variabel lainnya. Langkah-langkahnya meliputi: pertama, samakan koefisien dari salah satu variabel pada kedua persamaan dengan cara mengalikan persamaan dengan bilangan tertentu. Kedua, jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut. Ketiga, selesaikan persamaan satu variabel yang tersisa. Keempat, ulangi proses eliminasi untuk variabel yang lain, atau substitusikan nilai variabel yang sudah ditemukan ke salah satu persamaan awal. Contoh, untuk x + y = 5 dan 2x - y = 1, kita bisa langsung menjumlahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi y: (x + y) + (2x - y) = 5 + 1, sehingga 3x = 6, x = 2. Substitusikan x = 2 ke x + y = 5, maka 2 + y = 5, y = 3. Solusinya adalah (2, 3).

4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) adalah kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama. Bentuk umum pertidaksamaan linear adalah ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, atau ax + by ≥ c. Solusi dari SPtLDV bukan berupa titik tunggal, melainkan suatu daerah pada bidang Kartesius yang disebut daerah himpunan penyelesaian (DHP). DHP adalah daerah di mana semua titik (x, y) di dalamnya memenuhi semua pertidaksamaan dalam sistem. SPtLDV sering digunakan dalam masalah optimasi, seperti mencari daerah keuntungan maksimum atau biaya minimum dengan batasan tertentu. Konsep ini sangat relevan dalam perencanaan produksi dan manajemen logistik.

5. Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian SPtLDV
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari SPtLDV, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: pertama, gambarlah garis batas untuk setiap pertidaksamaan dengan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=). Jika pertidaksamaan menggunakan tanda ≤ atau ≥, garis batas digambar penuh; jika menggunakan < atau >, garis batas digambar putus-putus. Kedua, tentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan dengan melakukan uji titik (misalnya titik (0,0) jika tidak dilewati garis). Jika uji titik memenuhi, arsir daerah yang berisi titik tersebut; jika tidak, arsir daerah yang berlawanan. Ketiga, DHP dari SPtLDV adalah irisan atau daerah yang diarsir oleh semua pertidaksamaan secara bersamaan. Contoh, untuk x + y ≤ 5 dan x ≥ 0, y ≥ 0, DHP adalah daerah segitiga di kuadran I yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan garis x + y = 5.

6. Penerapan SPLDV dan SPtLDV dalam Kehidupan
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear memiliki banyak aplikasi praktis. Dalam bidang ekonomi, SPLDV dapat digunakan untuk menentukan harga keseimbangan pasar atau menghitung biaya produksi. SPtLDV sering digunakan dalam program linear untuk optimasi, misalnya menentukan berapa banyak produk A dan B yang harus diproduksi agar keuntungan maksimal dengan batasan bahan baku dan jam kerja. Dalam bidang teknik, konsep ini digunakan untuk merancang rangkaian listrik atau menentukan beban struktural. Bahkan dalam kehidupan sehari-hari, kita bisa menggunakannya untuk menghitung kebutuhan belanja, merencanakan diet sehat dengan batasan kalori, atau mengatur jadwal kegiatan yang efisien. Kemampuan memodelkan masalah nyata ke dalam sistem ini adalah keterampilan berharga.

Rangkuman: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah dua persamaan linear dengan dua variabel yang diselesaikan menggunakan metode substitusi atau eliminasi untuk menemukan satu pasangan solusi. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) adalah dua atau lebih pertidaksamaan linear dengan dua variabel yang solusinya berupa daerah pada grafik. Kedua konsep ini sangat relevan untuk memodelkan dan menyelesaikan berbagai masalah optimasi dan pengambilan keputusan di dunia nyata, dari ekonomi hingga teknik.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear" mata pelajaran Matematika Kelas X ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025