Modul Ajar & RPP Matematika Kelas XI
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Waktu pengerjaan: 25 menit

Tujuan: Kamu dapat menentukan rumus fungsi invers dari berbagai jenis fungsi secara sistematis.

Petunjuk: 1) Berdoalah sebelum mulai. 2) Gunakan APD dan patuhi aturan K3. 3) Kerjakan langkah secara berurutan, catat temuan di tabel, lalu simpulkan.

Info singkat: Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai proses yang terjadi secara berurutan, di mana hasil dari satu proses menjadi masukan untuk proses berikutnya.

Alat & bahan: Alat tulis, kalkulator (opsional), lembar kerja.

Langkah kerja:

1. Perhatikan fungsi-fungsi yang diberikan di bawah ini. Untuk setiap fungsi, bayangkan kamu ingin 'membalikkan' prosesnya.

2. Ubahlah bentuk f(x) menjadi y = f(x) untuk setiap fungsi.
3. Tukarkan posisi variabel x dan y pada persamaan yang kamu buat.
4. Selesaikan persamaan baru tersebut untuk mendapatkan y dalam bentuk x, yang merupakan fungsi invers f^-1(x).
5. Ujilah hasil fungsi invers yang kamu dapatkan dengan melakukan komposisi f(f^-1(x)) dan f^-1(f(x)). Apa hasilnya?

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang kamu ketahui tentang domain dan range suatu fungsi?
2. Bagaimana cara menentukan nilai suatu fungsi untuk input tertentu?
3. Bisakah kamu memberikan contoh fungsi yang memetakan satu input ke satu output saja?
4. Apa yang terjadi jika kita menggabungkan dua operasi matematika secara berurutan?

Formatif (proses): Observasi saat diskusi kelompok, penilaian LKPD, dan presentasi hasil.

Sumatif (akhir): Tes tertulis berupa soal pilihan ganda dan esai tentang komposisi fungsi dan fungsi invers.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai proses yang terjadi secara berurutan, di mana hasil dari satu proses menjadi masukan untuk proses berikutnya. Konsep komposisi fungsi dan fungsi invers membantu kita memahami dan memodelkan hubungan-hubungan ini secara matematis, memungkinkan kita untuk menganalisis dan membalikkan proses tersebut.

1. Pengertian Fungsi
Fungsi adalah suatu relasi yang memetakan setiap anggota dari suatu himpunan (domain) ke tepat satu anggota himpunan lainnya (kodomain). Fungsi dapat ditulis sebagai f: A -> B atau y = f(x), di mana x adalah elemen dari domain dan y adalah elemen dari kodomain yang merupakan hasil pemetaan x. Contoh: fungsi f(x) = 2x + 3.

2. Operasi Aljabar pada Fungsi
Dua fungsi atau lebih dapat dioperasikan secara aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) asalkan domainnya beririsan. Misalnya, jika f(x) = x+1 dan g(x) = x^2, maka (f+g)(x) = x+1+x^2. Operasi ini berbeda dengan komposisi fungsi yang melibatkan substitusi.

3. Konsep Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan, di mana output dari satu fungsi menjadi input untuk fungsi berikutnya. Notasi komposisi fungsi f dan g adalah (f o g)(x) = f(g(x)), yang berarti fungsi g dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dimasukkan ke fungsi f. Contoh: jika f(x) = 2x dan g(x) = x+1, maka (f o g)(x) = f(x+1) = 2(x+1) = 2x+2.

4. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi umumnya tidak komutatif, artinya (f o g)(x) ≠ (g o f)(x). Namun, komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu ((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x). Terdapat juga fungsi identitas I(x) = x, di mana (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x). Pemahaman sifat ini penting untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks.

5. Pengertian Fungsi Invers
Fungsi invers atau fungsi balikan adalah fungsi yang membalikkan operasi dari fungsi asalnya. Jika fungsi f memetakan A ke B, maka fungsi invers f^-1 memetakan B kembali ke A. Fungsi invers ada jika dan hanya jika fungsi aslinya adalah fungsi bijektif (satu-satu dan onto). Notasi fungsi invers adalah f^-1(x).

6. Langkah-langkah Menentukan Fungsi Invers
Untuk menentukan rumus fungsi invers dari y = f(x), langkah-langkahnya adalah: 1) Ubah f(x) menjadi y. 2) Tukar posisi x dan y dalam persamaan. 3) Selesaikan persamaan baru tersebut untuk mendapatkan y dalam bentuk x. 4) Ganti y dengan f^-1(x). Contoh: Untuk f(x) = 2x+1, y = 2x+1, x = 2y+1, x-1 = 2y, y = (x-1)/2, jadi f^-1(x) = (x-1)/2.

7. Hubungan Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Jika f^-1 adalah fungsi invers dari f, maka berlaku (f o f^-1)(x) = x dan (f^-1 o f)(x) = x. Ini menunjukkan bahwa komposisi fungsi asli dengan inversnya akan menghasilkan fungsi identitas. Hubungan ini sangat berguna untuk memverifikasi kebenaran fungsi invers yang telah ditemukan.

8. Aplikasi Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Konsep ini banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang. Misalnya dalam ekonomi, untuk menghitung total biaya produksi dari beberapa tahap, atau dalam kriptografi untuk enkripsi dan dekripsi pesan. Dalam ilmu komputer, fungsi invers digunakan dalam berbagai algoritma pemrosesan data.

Rangkuman: Komposisi fungsi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan, di mana hasil satu fungsi menjadi input fungsi berikutnya, dinotasikan (f o g)(x) = f(g(x)). Fungsi invers adalah fungsi yang membalikkan operasi dari fungsi asalnya, dinotasikan f^-1(x), dan hanya ada jika fungsi asalnya bijektif. Langkah mencari invers meliputi menukar x dan y lalu menyelesaikan persamaan untuk y.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers" mata pelajaran Matematika Kelas XI ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025