Modul Ajar & RPP Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII
Polinomial

Waktu pengerjaan: 40 menit

Tujuan: Peserta didik dapat mengidentifikasi unsur-unsur polinomial dan melakukan operasi aljabar dasar pada polinomial.

Petunjuk: 1) Berdoalah sebelum mulai. 2) Kerjakan langkah secara berurutan dan diskusikan dalam kelompok. 3) Catat temuan di tabel, lalu simpulkan berdasarkan bukti.

Info singkat: Polinomial adalah salah satu konsep fundamental dalam aljabar yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang ilmu. Dari memodelkan pertumbuhan populasi hingga merancang kurva dalam teknik, pemahaman tentang polinomial sangat penting.

Alat & bahan: Alat tulis, kalkulator (opsional)

Langkah kerja:

1. Amati gambar di bawah ini, lalu identifikasi ekspresi aljabar mana yang merupakan polinomial dan mana yang bukan.
2. Untuk setiap ekspresi polinomial, tentukan derajat, koefisien dari setiap suku, dan suku-suku yang ada.
3. Lakukan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada pasangan polinomial yang diberikan.
4. Catat hasil identifikasi dan operasi pada tabel yang disediakan.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang kamu ketahui tentang variabel dan konstanta?
2. Bagaimana cara menjumlahkan suku-suku sejenis dalam aljabar?
3. Bisakah kamu memberikan contoh bentuk aljabar kuadrat?
4. Apa yang dimaksud dengan pangkat dalam matematika?

Formatif (proses): Asesmen formatif dilakukan melalui observasi partisipasi aktif peserta didik dalam diskusi kelompok dan kelengkapan serta keakuratan penyelesaian LKPD.

Sumatif (akhir): Asesmen sumatif dilakukan melalui tes tertulis yang mencakup soal-soal identifikasi, operasi, pembagian, teorema sisa, dan teorema faktor polinomial.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Polinomial adalah salah satu konsep fundamental dalam aljabar yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang ilmu. Dari memodelkan pertumbuhan populasi hingga merancang kurva dalam teknik, pemahaman tentang polinomial sangat penting. Modul ini akan membimbing kamu untuk menguasai konsep dasar, operasi, hingga teorema-teorema penting yang terkait dengan polinomial.

1. Pengertian dan Unsur-unsur Polinomial
Polinomial adalah bentuk aljabar yang memiliki satu atau lebih suku, di mana setiap suku terdiri dari variabel yang berpangkat bilangan bulat positif atau nol, dan sebuah koefisien. Bentuk umum polinomial adalah a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, di mana a_n adalah koefisien suku utama, n adalah derajat polinomial, dan a_0 adalah konstanta. Derajat polinomial adalah pangkat tertinggi dari variabel. Contoh, 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7 adalah polinomial berderajat 4 dengan koefisien suku utamanya 3.

2. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial
Penjumlahan dan pengurangan polinomial dilakukan dengan menggabungkan suku-suku yang sejenis, yaitu suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat yang sama. Caranya adalah dengan menjumlahkan atau mengurangkan koefisien dari suku-suku sejenis tersebut. Contoh: (2x^3 + 3x^2 - x + 5) + (x^3 - 2x^2 + 4x - 1) = (2+1)x^3 + (3-2)x^2 + (-1+4)x + (5-1) = 3x^3 + x^2 + 3x + 4. Ketelitian dalam mengidentifikasi suku sejenis sangat penting.

3. Operasi Perkalian Polinomial
Perkalian polinomial dilakukan dengan mengalikan setiap suku dari polinomial pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua, kemudian menjumlahkan hasilnya. Ini dikenal sebagai sifat distributif. Hasil perkalian dua polinomial berderajat m dan n akan menghasilkan polinomial berderajat m+n. Contoh: (x+2)(x^2 - 3x + 1) = x(x^2 - 3x + 1) + 2(x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2 = x^3 - x^2 - 5x + 2. Perhatikan penjumlahan suku-suku sejenis setelah perkalian.

4. Pembagian Polinomial dengan Metode Pembagian Bersusun
Pembagian polinomial dapat dilakukan mirip dengan pembagian bilangan bulat bersusun. Metode ini digunakan untuk membagi polinomial P(x) dengan pembagi D(x) untuk mendapatkan hasil bagi H(x) dan sisa S(x), sehingga P(x) = D(x)H(x) + S(x). Derajat sisa selalu lebih kecil dari derajat pembagi. Langkah-langkahnya meliputi membagi suku utama, mengalikan hasil bagi dengan pembagi, mengurangkan, dan mengulang proses hingga sisa tidak dapat dibagi lagi. Metode ini efektif untuk pembagi berderajat tinggi.

5. Pembagian Polinomial dengan Metode Horner (Sintetik)
Metode Horner atau pembagian sintetik adalah cara yang lebih cepat untuk membagi polinomial, terutama ketika pembaginya berbentuk (x-k) atau (ax-b). Metode ini hanya melibatkan koefisien polinomial dan nilai k dari pembagi. Langkah-langkahnya melibatkan menurunkan koefisien pertama, mengalikan dengan k, menambahkan dengan koefisien berikutnya, dan seterusnya. Hasil akhir akan memberikan koefisien hasil bagi dan sisa pembagian. Metode ini sangat efisien untuk pembagi linear.

6. Teorema Sisa
Teorema Sisa menyatakan bahwa jika suatu polinomial P(x) dibagi oleh (x-k), maka sisa pembagiannya adalah P(k). Ini berarti untuk mencari sisa, kita tidak perlu melakukan pembagian, cukup substitusikan nilai k ke dalam polinomial. Jika P(x) dibagi oleh (ax-b), maka sisanya adalah P(b/a). Teorema ini sangat berguna untuk menemukan sisa pembagian dengan cepat tanpa perlu melakukan proses pembagian yang panjang. Contoh, sisa pembagian P(x) = x^2 + 2x + 1 oleh (x-1) adalah P(1) = 1^2 + 2(1) + 1 = 4.

7. Teorema Faktor
Teorema Faktor adalah pengembangan dari Teorema Sisa. Teorema ini menyatakan bahwa (x-k) adalah faktor dari polinomial P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0. Dengan kata lain, jika sisa pembagian P(x) oleh (x-k) adalah nol, maka k adalah akar dari polinomial tersebut, dan (x-k) adalah faktornya. Teorema ini sangat penting untuk mencari akar-akar rasional dari polinomial berderajat tinggi, yang pada gilirannya membantu dalam faktorisasi polinomial menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Rangkuman: Polinomial adalah ekspresi aljabar dengan pangkat variabel bilangan bulat non-negatif. Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian polinomial melibatkan penggabungan suku sejenis atau penggunaan sifat distributif. Pembagian polinomial dapat dilakukan dengan metode bersusun atau Horner. Teorema Sisa dan Teorema Faktor adalah alat penting untuk menentukan sisa pembagian dan akar-akar polinomial tanpa melakukan pembagian penuh, memudahkan analisis polinomial.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Polinomial" mata pelajaran Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025