Modul Ajar & RPP Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII
Turunan

Waktu pengerjaan: 40 menit

Tujuan: Setelah mengerjakan LKPD ini, kamu akan dapat memahami konsep turunan, mengaplikasikan aturan turunan, dan menyelesaikan masalah optimasi.

Petunjuk: 1) Berdoalah sebelum mulai. 2) Kerjakan langkah secara berurutan dan diskusikan dalam kelompok. 3) Catat temuan di tabel, lalu simpulkan berdasarkan bukti.

Info singkat: Turunan adalah salah satu konsep fundamental dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.

Alat & bahan: Alat tulis, penggaris, kalkulator, komputer/tablet dengan Geogebra/Desmos

Langkah kerja:

1. Amati grafik fungsi y = x² pada Gambar 1. Bagaimana kemiringan garis singgung berubah saat x bergerak dari negatif ke positif?

2. Gunakan definisi turunan sebagai limit untuk mencari turunan dari f(x) = x^3. Catat langkah-langkahmu.
3. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 7. Gunakan aturan dasar turunan.
4. Sebuah kotak tanpa tutup akan dibuat dari selembar karton berukuran 20 cm x 30 cm dengan memotong persegi identik di setiap sudut dan melipat sisi-sisinya. Tentukan ukuran persegi yang harus dipotong agar volume kotak menjadi maksimum.

🔒 Tabel kerja dan lembar refleksi murid tidak ditampilkan di pratinjau — keduanya ada di berkas unduhan.

Asesmen awal (diagnostik):

1. Apa yang kamu ketahui tentang limit fungsi?
2. Bagaimana kamu menggambarkan kemiringan suatu garis lurus?
3. Sebutkan contoh fungsi aljabar yang kamu ketahui.
4. Pernahkah kamu mendengar tentang laju perubahan?

Formatif (proses): Observasi partisipasi aktif peserta didik dalam diskusi kelompok dan kelengkapan pengerjaan LKPD.

Sumatif (akhir): Tes tertulis untuk mengukur pemahaman konsep turunan dan kemampuannya dalam menyelesaikan masalah optimasi.

🔒 Rubrik KKTP dan kunci jawaban tidak ditampilkan di pratinjau — rubrik ada di berkas unduhan, kunci jawaban khusus member Paket Lengkap.

Turunan adalah salah satu konsep fundamental dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan memahami turunan, kita dapat menganalisis bagaimana suatu besaran berubah terhadap besaran lainnya, memprediksi laju perubahan, dan mengoptimalkan berbagai situasi untuk mencapai hasil terbaik.

1. Definisi Turunan sebagai Limit Fungsi
Turunan suatu fungsi f(x) pada titik x=a, dinotasikan f'(a), didefinisikan sebagai limit dari rasio perubahan fungsi terhadap perubahan variabelnya ketika perubahan variabel mendekati nol. Secara matematis, f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h. Konsep ini secara geometris merepresentasikan kemiringan garis singgung pada kurva y=f(x) di titik (a, f(a)). Pemahaman ini penting sebagai dasar sebelum mempelajari aturan-aturan turunan yang lebih praktis.

2. Aturan Dasar Turunan Fungsi Aljabar
Untuk mempermudah perhitungan turunan, terdapat beberapa aturan dasar. Aturan pangkat menyatakan bahwa turunan dari x^n adalah nx^(n-1). Turunan dari suatu konstanta adalah nol. Turunan dari konstanta dikalikan fungsi adalah konstanta dikalikan turunan fungsi. Aturan penjumlahan dan pengurangan menyatakan bahwa turunan dari jumlah/selisih dua fungsi adalah jumlah/selisih turunannya. Ini adalah pondasi untuk menurunkan fungsi aljabar yang lebih kompleks.

3. Aturan Perkalian dan Pembagian Turunan
Jika kita memiliki dua fungsi u(x) dan v(x), maka turunan dari perkalian u(x)v(x) adalah u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Untuk pembagian, turunan dari u(x)/v(x) adalah [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2, dengan syarat v(x) tidak sama dengan nol. Kedua aturan ini sangat penting saat menghadapi fungsi yang merupakan hasil kali atau hasil bagi dari dua atau lebih fungsi yang lebih sederhana.

4. Turunan Fungsi Trigonometri Dasar
Beberapa fungsi trigonometri memiliki turunan dasar yang perlu dihafal. Turunan dari sin(x) adalah cos(x). Turunan dari cos(x) adalah -sin(x). Turunan dari tan(x) adalah sec^2(x). Demikian pula untuk cot(x), sec(x), dan csc(x). Pemahaman turunan dasar ini akan menjadi modal untuk menurunkan fungsi trigonometri yang lebih kompleks, terutama saat dikombinasikan dengan aturan rantai.

5. Aturan Rantai (Chain Rule)
Aturan rantai digunakan untuk menurunkan fungsi komposisi, yaitu fungsi yang berada di dalam fungsi lain, seperti f(g(x)). Aturan ini menyatakan bahwa turunan dari f(g(x)) adalah f'(g(x)) dikalikan dengan g'(x). Misalnya, jika kita ingin menurunkan sin(2x+1), maka kita akan menurunkan sin(u) menjadi cos(u) dan kemudian mengalikan dengan turunan dari 2x+1. Aturan rantai sangat fundamental dalam kalkulus.

6. Penerapan Turunan: Masalah Optimasi
Salah satu aplikasi utama turunan adalah untuk menyelesaikan masalah optimasi, yaitu mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi. Langkah-langkahnya meliputi: merumuskan fungsi yang akan dioptimalkan, mencari turunan pertama fungsi tersebut dan menyamakannya dengan nol untuk menemukan titik stasioner, serta menggunakan uji turunan kedua untuk menentukan apakah titik stasioner tersebut merupakan titik maksimum, minimum, atau titik belok. Contohnya adalah memaksimalkan volume kotak atau meminimalkan biaya produksi.

7. Penerapan Turunan: Laju Perubahan Terkait
Turunan juga digunakan untuk menyelesaikan masalah laju perubahan terkait, di mana kita mengetahui laju perubahan satu atau lebih besaran dan ingin mencari laju perubahan besaran lainnya. Kunci dalam masalah ini adalah menemukan hubungan antar variabel melalui persamaan, kemudian mendiferensiasikan persamaan tersebut terhadap waktu (t) menggunakan aturan rantai. Contoh klasik adalah menghitung laju perubahan tinggi air dalam wadah kerucut ketika air dipompa masuk dengan laju tertentu.

Rangkuman: Turunan adalah laju perubahan sesaat suatu fungsi, yang didefinisikan sebagai limit fungsi dan secara geometris adalah kemiringan garis singgung. Aturan dasar turunan mempermudah perhitungan, termasuk aturan pangkat, konstanta, penjumlahan, perkalian, pembagian, dan aturan rantai untuk fungsi komposisi. Turunan fungsi trigonometri juga penting. Aplikasi utamanya adalah dalam masalah optimasi (mencari nilai maksimum/minimum) dan laju perubahan terkait dalam berbagai konteks nyata.

🔒 Daftar pustaka tidak ditampilkan di pratinjau — ada di berkas unduhan.

Modul ajar "Turunan" mata pelajaran Matematika Tingkat Lanjut Kelas XII ini disusun sesuai ketentuan Kurikulum Merdeka · Pembelajaran Mendalam dan dinyatakan dapat digunakan dalam pembelajaran Tahun Pelajaran 2026/2027.

Rujukan: Permendikdasmen No. 13 Tahun 2025 (Pembelajaran Mendalam) · Permendikdasmen No. 1 Tahun 2026 (Standar Proses) · CP: Kepka BSKAP No. 046/H/KR/2025